Scientia Geographica Sinica  2014 , 34 (2): 242-248 https://doi.org/10.13249/j.cnki.sgs.2014.02.242

Orginal Article

基于Copula函数的洞庭湖流域水沙丰枯遭遇频率分析

周念清1, 赵露1, 沈新平2

1.同济大学水利工程系,上海 200092
2.湖南省洞庭湖水利工程管理局,湖南 长沙 410007

Copula-based Probability Evaluation of Rich-Poor Runoff and Sediment Encounter in Dongting Lake Basin

ZHOU Nian-qing1, ZHAO Lu1, SHEN Xin-ping2

1.Department of Hydraulic Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China
2.Dongting Lake Water Resources Administration Bureau of Hunan Province, Changsha,Hunan 410007, China

中图分类号:  TV122

文献标识码:  A

文章编号:  1000-0690(2014)02-0242-07

收稿日期: 2013-01-23

修回日期:  2013-04-29

网络出版日期:  2014-02-10

版权声明:  2014 《地理科学》编辑部 本文是开放获取期刊文献,在以下情况下可以自由使用:学术研究、学术交流、科研教学等,但不允许用于商业目的.

基金资助:  国家自然科学基金(41272249)和博士点专项基金(20110072110020)资助

作者简介:

作者简介:周念清(1964-),男,湖南石门人,教授,博士生导师,主要从事水文学及水资源、地下水数值模拟与水环境评价方面的研究。E-mail: nq.zhou@tongji.edu.cn

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摘要

受人类活动的影响,水沙灾害事件相继发生,对人们的生产、生活造成了威胁。以洞庭湖流域代表性水文站的年径流量和年输沙量系列数据为基础,应用P-III型曲线分别拟合并求得“松滋口、太平口、藕池口”三口入湖、“湘江、资江、沅水、澧水”四水入湖和城陵矶站出湖年径流量、年输沙量的边缘分布函数,再采用水文事件遭遇分析中广泛应用的Copula函数,建立洞庭湖流域水沙联合分布模型,分析洞庭湖流域水沙丰枯遭遇频率。研究结果表明洞庭湖三口、四水和城陵矶站的水沙丰枯遭遇频率关系与洞庭湖流域的水沙运动有密切联系,运用该水沙耦合模型可以为洞庭湖流域防洪减灾提供重要的理论依据。

关键词: Copula函数 ; 水沙关系 ; 丰枯遭遇频率 ; 洞庭湖流域

Abstract

Under the influences of human activities, the successive water and sediment disasters posed threats on people′s production and life. Based on the series data of annual runoff and sediment of representative hydrometric stations in Dongting Lake Basin, P-III distribution curve is applied to fit the marginal distribution of annual runoff and sediment of 3 inlets (Songzikou, Taipingkou, Ouchikou), four rivers (Xiangjiang River, Zijiang River, Yuanjiang River and Lishui River) (entering the lake) and Chenglingji (coming out of the lake). The application of popular Copula-constructed two-dimensional joint distribution of runoff and sediment was illustrated, and the joint distribution was used to calculate the encounter probability of rich-poor runoff and sediment in Dongting Lake Basin. Result shows that 1) Synchronous frequency of the runoff and sediment in 3 inlets is far more than asynchronous frequency, and the frequencies of rich water-rich sediment, poor water-poor sediment and normal water-normal sediment are equal basically. 2) Synchronous frequency of the runoff and sediment in four rivers and Chenglingji approximately equals asynchronous frequency, and the frequency of rich water-rich sediment is the highest in synchronous frequency, the frequency of poor water-poor sediment ranks the second, and the frequency of normal water-normal sediment is the lowest. 3) The frequency of the encounter of opposite status of runoff and sediment (the frequency of rich water-poor sediment and the frequency of poor water-rich sediment) is the lowest of the asynchronous frequencies of rich-poor runoff and sediment encounters in Chenglingji, 3 inlets and 4 rivers. The research results show that the model posses good evaluating performance and reveals a close contact with the basic characteristics of the runoff and sediment in Dongting Lake. With the analysis of the rich-poor runoff and sediment encounter probability, the frequency of water-sediment disasters can be understanding quantitatively, so the study can provide a technical guidance for the flood prevention and disaster reduction in Dongting Lake Basin.

Keywords: Copula ; runoff and sediment ; probability of rich-poor encounter ; Dongting Lake Basin

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周念清, 赵露, 沈新平. 基于Copula函数的洞庭湖流域水沙丰枯遭遇频率分析[J]. , 2014, 34(2): 242-248 https://doi.org/10.13249/j.cnki.sgs.2014.02.242

ZHOU Nian-qing, ZHAO Lu, SHEN Xin-ping. Copula-based Probability Evaluation of Rich-Poor Runoff and Sediment Encounter in Dongting Lake Basin[J]. Scientia Geographica Sinica, 2014, 34(2): 242-248 https://doi.org/10.13249/j.cnki.sgs.2014.02.242

流域的水沙关系一直是水科学领域的重点研究对象。目前国内对流域水沙关系的研究多为从产流、产沙的角度出发:杨永德研究建立了长江流域小流域尺度的流域输沙响应关系模型[1];许盛国从误差传播及经验关系分析二条途径出发,研究了流量输沙率相对关系的不确定度[2];彭荔红以李子溪流域为实例,运用降雨量、降雨历时、洪峰流量和洪量等因子建立流域输沙量和最大输沙率的BP人工神经网络预测模型[3]。河川径流与泥沙相互作用关系密切,降雨冲刷地表造成水土流失,从而导致河流含沙量增加,造成河道淤积和洪水位的抬升,最终引起水患灾害的发生。因此,径流和泥沙作为致灾的两个重要要素,建立水沙耦合风险评价模型对流域防洪减灾以及风险控制具有重要意义。

洞庭湖一直是国内学者研究水沙作用的热点区域。洞庭湖北承荆江三口(松滋口、太平口、藕池口),南纳潇湘四水(湘江、资水、沅江、澧水),是长江中游重要的调蓄型湖泊和水源地。受自然和人为因素的影响,洞庭湖水沙条件先后发生过多次大的调整,三口分流分沙及洞庭湖容积、面积均有大幅减小。国内外学者以往对洞庭湖的研究多为泥沙输移与淤积计算、洪涝灾害与防洪体系、生态系统服务功能、湿地及水生生物、洪道输挖技术等方面[4-6]。李景保等研究了洞庭湖1951~1998年径流、泥沙演变过程并分析其驱动力,得到不同水文条件下径流、泥沙具有同步变化的密切关系[7];李正最等综合运用数理统计、小波分析等方法,分析了洞庭湖入湖和出湖径流和输沙量的变化特征[8]。要进一步深入的了解洞庭湖流域水沙耦合作用下的复杂水文事件,必须全面考虑径流、泥沙2个相关变量,建立水沙二维联合分布模型。

本文以洞庭湖流域代表性水文站年径流量和年输沙量系列试验数据为基础,应用P-III型曲线拟合,求得三口入湖、四水入湖和城陵矶站出湖年径流量和年输沙量的边缘分布函数,再采用在水文事件遭遇分析中广泛应用的Copula函数,建立洞庭湖流域水沙联合分布模型,从而分析洞庭湖流域水沙丰枯遭遇频率,为洞庭湖流域的防洪减灾及工程治理提供技术支持和参考依据。

1 研究区概况

洞庭湖是长江流域典型的吞吐调蓄型湖泊之一,位于湖南省东北部,长江中游荆江段南岸,跨湘鄂两省的广大冲积平原和湖泊水网地区。洞庭湖属亚热带湿润季风气候,气候温和,雨量充沛,年降水量为1 200~1 450 mm。洞庭湖与长江有着千丝万缕的联系,通过三口(松滋口、太平口、藕池口)分泄长江来水,并接受“湘江、资水、沅江、澧水”4条水系的补给,经洞庭湖又由城陵矶注入长江。

洞庭湖原为中国第一大淡水湖,1825年其面积曾达到6 000 km2,容积约400×108 m3。由于洞庭湖一直处于淤积状态,加之20世纪50年代以来的大量围垦,演变剧烈,近几十年来面积和容积的损失都比较大,现在湖体已明显分化为南洞庭湖、东洞庭湖和西洞庭湖3个不同的湖区,以及由200多个大小不等的堤垸相隔而成的纵横交错的河网。

2 研究方法

单变量的水文分析难以全面反映水文事件各个变量间的相依性,通过对多变量的联合分布来研究水文事件的频率已经成为水文领域的研究重点。Copula函数是一种建立多变量联合分布的有效方法,它能够灵活构造任意边缘分布的水文变量联合分布。张强等采用Copula非参数估计方法构建了两降水指标联合分布函数,系统分析了极端降水单变量极值及降水极值二维联合概率分布特征,研究了新疆地区降水极值概率变化的空间演变特征[9]。康玲等采用联合Copula函数和贝叶斯网络理论,建立了南水北调中线工程水源区和受水区降水丰枯遭遇风险分析模型,对南水北调中线工程调水最不利的丰枯遭遇风险概率进行了研究[10]。张翔等利用Copula函数构造了水量水质的二维和三维联合分布函数,对蚌埠闸的水量水质联合分布频率进行了分析[11]。应用多变量分析方法可以反映水文事件多个方面的特征属性,从而全面的反映水文事件的真实特征。

2.1 Copula函数的定义与性质

Copula理论是由Sklar在1959年提出的,他指出,可以将任意一个n维联合累积分布函数分解为n个边缘累积分布和一个Copula函数[12]。边缘分布描述的是变量的分布,Copula函数描述的是变量之间的相关性,它实际上是一类将变量联合累积分布函数连接起来的函数,因此也有人称其为“连接函数”。其定义如下:

F(x1,x2,…xn)=Cθ(F1(x),F2(x), …,Fn(x)) (1)

式中, C(*)为Copula函数;θ为Copula参数; F1,F2,…,Fn为各随机变量的边缘分布。

基于Sklar定理,令H(*,*)为具有边缘分布F(*)和G(*)的联合分布函数,那么存在一个Copula函数C(*,*),满足:

H(x,y)=C(F(x),G(y)) (2)

F(*)、G(*)连续,则C(*,*)唯一确定;反之,若F(*)、G(*)为一元分布函数,为相应的Copula函数,那么由上式定义的H(*,*)是具有边缘分布F(*)、G(*)的联合分布函数。

由Sklar定理可以看出,Copula函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构。联合分布可分为两部分:变量的边缘分布和变量间的相关性结构,其中Copula函数用来描述变量之间的相关性。Copula函数不要求具有相同的边缘分布,任意边缘分布都可以通过Copula函数连接构成联合分布。联合分布里包含了变量所有的信息,因此,在转换过程中不会产生信息失真。

2.2 Copula函数的主要类型

Copula函数总体上可以分为3类:椭圆型、二次型和Archimedean型[13]。其中Archimedean型(分为对称Archimedean型和非对称Archimedean型)在水文领域应用最为广泛。表1列出3种常用的Archimedean型Copula函数。

表1   3种常用的Archimedean型Copula函数

Table 1   Three types of popular Archimedean Copula

名 称Cq(u,v)的形式tq的关系
Clayton CopulaCu,v=u-θ+v-θ-1-1/θτ=θ2+θ,θ0,
Frank CopulaCu,v=-1θ1+e-θu-1e-θv-1e-θ-1τ=1-4θ-1θ-θ0texpt-1dt-1,θR
Gumbel-Hougaard CopulaCu,v=exp--lnuθ+-lnvθ1θτ=1-1θ,θ1,

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2.3 函数的参数估计

Copula函数的参数估计方法包括矩法估计、核估计法、非参数估计法、极大似然估计法[14]等。其中随机变量的边缘分布一般采用极大似然估计和矩法估计,而Copula连结函数的估计通常采用非参数估计法[15]、适线法和极大似然法。其中非参数估计法即用Kendall秩相关系数 τ和Copula函数的参数 θ之间的关系求得(如表1)。

2.4 函数的拟合优度检验

函数的拟合优度检验包括边缘分布模型的检验和Copula连结函数的检验。随机变量的边缘分布对实际分布的拟合情况,对于Copula连结函数描述变量之间相关性结构至关重要。Copula函数拟合优度的检验方法主要包括离差平方和最小准则(OLS)和AIC信息准则法。选取OLS最小的Copula函数作为连结函数,OLS的计算公式为:

OLS=1ni=1npei-pi2(3)

式中, peipi分别作为经验频率和理论频率;i为数据系列序号。

AIC(Akaike information criterion)信息准则法[16] 包括函数拟合的偏差和参数变量带来的不可靠性两个部分,AIC值越小,说明函数拟合程度越好。

AIC=nlog(RSS/n)+2m (4)

式中,n是样本个数,m是参数个数,RSS是残差平方和。

3 洞庭湖流域水沙联合分布模型

3.1 选择边缘分布

选用1956~2008年荆江三口的新江口、沙道观、弥砣寺、管家铺、康家岗5个水文站和“湘、资、沅、澧”四水的湘潭、桃江、桃源、石门4个控制站以及城陵矶站的年径流量及年输沙量资料。资料来源于湖南省水文水资源勘测局以及相关文献[8]。在水文分析计算中,对于单变量水文数据系列的分析常假定水文序列服从P-III(皮尔逊)型分布,对于泥沙序列也可以尝试建立泥沙频率曲线再验证拟合情况[17]。采用以下公式计算边缘分布的经验频率:

H(x)=P(Xxm)=(m-0.44)/(N+0.12) (5)

式中,Pxxm的经验概率;mxm的序号;N为样本容量。

采用适线法对P-III型分布进行参数估计。最终得到三口、四水和城陵矶年径流量和年输沙量分布拟合情况及参数估计值,如图1表2所示。从它们的频率曲线拟合结果可以看出,各边缘分布能较好的拟合年径流量和年输沙量的经验频率分布。

图1   三口入湖、四水入湖、城陵矶出湖年径流量、年输沙量频率曲线

Fig. 1   Frequency curve of annual runoff and sediment of Sankou,Sishui and Chenglingji

表2   各边缘分布参数

Table 2   Parameters of each marginal distribution function

城陵矶三口四水
年径流量
(108 m3
年输沙量
(104 t)
年径流量
(108 m3
年输沙量
(104 t)
年径流量
(108 m3
年输沙量
(104 t)
均值2784.20383.081145.52855.511639.09266.27
Cv0.1910.4290.5920.4280.1780.484
Cs0.6410.8581.1840.9460.6230.968

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3.2 确定Copula函数

1) 二维联合经验分布。将年径流量资料(X)和年输沙量资料(Y)按照年径流量资料升序排列,挑选排好次序系列中的XiXj,YiYji<j=1,…, n)的数据对,通过这些数据对来计算联合分布的函数的经验频率值。计算公式如下:

Hxi,yi=PXxi,Yyi=m=1in=1iNmn-0.44N+0.12(6)

式中,PXxi,Yyi的二维联合概率值;Nmn为的序号;N为总的数据对数目。

2) 二维联合理论分布。通过计算得到城陵矶年径流量和年输沙量的Kendall秩相关系数为0.398,三口年径流量和年输沙量的Kendall秩相关系数为0.836,四水年径流量和年输沙量的Kendall秩相关系数为0.279,其中三口的年径流量和年输沙量的相关性较好。选择3种常用的Archimedean Copula函数Clayton Copula、Gumbel-Hougaard Copula、Frank Copula来构造联合分布函数,拟合优度检验结果如表3所示,综合拟合优度检验的结果,选择Gumbel-Hougaard Copulas函数作为水沙二维联合分布的连结函数。以城陵矶计算结果为例,年径流量与年输沙量二维联合分布与经验联合分布值的拟合结果如图2所示。

表3   各Copula函数拟合优度检验

Table 3   Goodness-of-fit test of each copula joint distribution

检验方法Clayton CopulasGumbel-Hougaard CopulasFrank Copulas
城陵矶OLS0.0240.0240.021
AIC-391.828-391.754-407.144
三口OLS0.0280.0300.027
AIC-375.270-370.788-381.026
四水OLS0.0400.0300.034
AIC-339.196-368.649-355.372

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图2   城陵矶站出湖水沙经验频率与各Copula函数拟合结果

Fig. 2   Fitting result of empirical frequency and Copula-constructed theory frequences of runoff and sediment in Chenglingji Station

以城陵矶站出湖年径流量和年输沙量为例,选定 Gumbel-Hougaard Copulas函数建立的水沙二维联合分布如图3所示。

图 3   城陵矶站水沙二维联合分布

Fig. 3   Two-dimensional joint distribution graph of runoff and sediment in Chenglingji Station

4 洞庭湖流域水沙丰枯遭遇频率分析

根据上述水沙联合分布模型对洞庭湖流域的水沙丰枯遭遇进行研究,因丰枯划分的保证率超过概率,因此需将其转化成累积频率。设年径流量系列累积分布为X,年输沙量系列的累积分布为Y,则两者之间的联合分布可以表示为:

采用频率法将水沙频率分为丰、平、枯3种状态,以pf=37.5%、pk=62.5%作为水沙丰枯划分的频率,则丰枯遭遇组合包括以下9种情况(如表4);经计算,得到洞庭湖水沙丰枯遭遇分析结果如表5所示:

表5可知:① 在洞庭湖三口入湖水沙丰枯遭遇频率中,水沙丰枯同步频率远大于水沙丰枯异步频率;在水沙丰枯同步频率中,同丰、同枯、同丰的频率基本相等。② 在洞庭湖四水入湖、城陵矶出湖水沙丰枯遭遇频率中,水沙丰枯同步频率与水沙丰枯异步频率大致相当,且在水沙丰枯同步频率中,同丰的频率最大,同枯的频率次之,同平的频率最小。③ 洞庭湖三口入湖、四水入湖和城陵矶出湖的水沙丰枯异步频率中“水丰沙枯”和“水枯沙丰”组合的遭遇频率最小,表明水沙频率存在较大的相关性,出现二者截然相反的状态的机率最小。

表4   水沙丰枯遭遇组合

Table 4   Encounter combination of rich-poor runoff and sediment

水丰水平水枯
沙丰p1=P(Xxpf;Yypf)p2=P(xpk<X<xpf;Yypf)p3=P(Xxpk;Yypf)
沙平p4=P(Xxpf;ypk<Y<ypf)p5=P(xpk<X<xpf;ypk<Y<ypf)p6=P(Xxpk;ypk<Y<ypf )
沙枯p7=P(Xxpf;Yypk)p8=P(xpk<X<xpf;ypk<Y<ypf)p9=P(Xxpk;Yypk)

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表5   洞庭湖水沙丰枯遭遇结果分析

Table 5   Encounter probabilities of rich-poor runoff and sediment in Dongting Lake Basin

水沙丰枯同步频率(%)水沙丰枯异步频率(%)
同丰同枯同平合计丰平丰枯平丰平枯枯丰枯平合计
城陵矶20.0618.1515.2553.468.923.528.9210.833.5210.8346.54
三口28.3928.3927.7984.573.110.013.114.10.014.114.44
四水17.3115.6813.8746.869.755.449.7511.385.4411.3853.14

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丰枯频率结果的差异与洞庭湖水沙的基本特征有着密切联系:洞庭湖来水主要以四水(湘、资、沅、澧)水量为主,占城陵矶出湖总量的58.87%,而洞庭湖的来沙量则主要以三口入湖为主,多年平均输沙量约为四水入湖沙量的3倍(见表2)。从三口、四水进入洞庭湖的水沙受到洞庭湖本身的过水、过沙能力的影响后从城陵矶站排出,因此,城陵矶站出湖水沙丰枯的各种遭遇组合频率较三口入湖、四水入湖处分布最为均匀。

5 结 论

通过对洞庭湖流域三口入湖、四水入湖和城陵矶出湖的年径流量和年输沙量系列数据的研究,采用Copula函数分析水沙丰枯遭遇频率,可以得出以下主要结论:

1) 洞庭湖三口入湖水沙丰枯遭遇频率中,水沙丰枯同步频率远大于水沙丰枯异步频率;而同丰、同枯、同平的频率基本相等。

2) 洞庭湖四水入湖、城陵矶出湖水沙丰枯遭遇频率中,水沙丰枯同步频率与水沙丰枯异步频率大致相当,且在水沙丰枯同步频率中,同丰的频率最大,同枯的频率次之,同平的频率最小。

3) 洞庭湖三口入湖、四水入湖和城陵矶出湖的水沙丰枯异步频率中“水丰沙枯”和“水枯沙丰”组合的遭遇频率最小。

通过对洞庭湖水沙丰枯遭遇频率的计算可以进一步定量的了解洞庭湖水沙灾害的发生频率,从而对洞庭湖区水沙工程治理提供决策和指导。

The authors have declared that no competing interests exist.


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