陈锋锐
, 刘宇
CHEN Feng-rui, LIU Yu
中图分类号: P456.8
文献标识码: A
文章编号: 1000-0690(2014)09-1125-09
收稿日期: 2013-06-5
修回日期: 2013-08-12
网络出版日期: 2014-09-10
版权声明: 2014 《地理科学》编辑部 本文是开放获取期刊文献，在以下情况下可以自由使用：学术研究、学术交流、科研教学等，但不允许用于商业目的.
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作者简介:
作者简介：陈锋锐（1982-）,男,河南禹州人,讲师,博士,主要从事多元地统计、多源信息融合研究。E-mail:fruich@gmail.com
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摘要
针对气象记录缺失的普遍现象以及现实中对完整记录的迫切需求,提出一种新的融合时空特性的气温缺失记录重建方法,并与线性插值、基于DEM的普通克里金以及标准比率法等进行对比。实验结果表明：线性插值法和基于DEM的普通克里金法仅考虑气温的时间或空间特性,重建精度较差;标准比率法部分地考虑气温的时空分布特性,因此在部分月份具有较高的重建精度;然该方法稳健性较差,致使其整体重建精度较低。
关键词：
Abstract
Data missing is frequently encountered in climate variables due to many reasons, such as instrument failures in the observatory, meteorological extremes, and observation recording errors. However, several types of climatic analysis require the availability of data not only covering a long enough period of time, but also forming a complete and homogeneous series. This paper presented a novel imputation method for missing air temperature records by merging their spatio-temporal characteristics. On the basis of extending Kriging model, a nonstationary Kriging method which assumes that the mean is known and varying in study area was proposed. Firstly, the trend of air temperature in each station was attained by analyzing its time series data, and linear interpolation was adopted in this study. Then, geostatistical analysis were performed on the errors between the trend and observed values. Finally, the spatio-temporal information of air temperature was integrated into the proposed Kriging model. Three other imputation methods, including linear interpolation, ordinary Kriging based on DEM (OKD) and normal ratio, were introduced to compare with. The results show that: 1) Besides OKD, the imputation accuracy of the other three methods varies obviously in 12 months. For linear interpolation, its imputation accuracy in May and July-October is much higher than that in the rest of the month. Normal ratio has higher imputation accuracy in April-November. The proposed method has higher imputation accuracy in March-October, with mean absolute error (MAE) less than 0.2℃. 2) Normal ratio has the largest MAE (4.17℃) in December and the least MAE (0.18℃) in October, this means that it has poor robustness. Compared with linear interpolation, the difference between the maximum and minimum MAE values of OKD is much less (0.25℃), thus it has better robustness. With the difference being 0.1℃ only, the proposed method has the strongest robustness. 3) Air temperature contains the temporal and spatial characteristics together. Linear interpolation only considers its temporal characteristics but ignores its spatial characteristics, while OKD only considers its spatial characteristic but ignores its temporal characteristics. Therefore, they don't attain the satisfactory imputation results. With partly taking the spatio-temporal characteristics of air temperature into account, normal ratio can attain higher imputation accuracy in March-November. However, this method has poor robustness. When air temperature in study area varies sharply or fluctuates around 0℃, normal ratio has lower imputation accuracy. As a result, its overall imputation accuracy is still lower. Among these methods, the proposed method has the smallest MAE and root mean square error in each month and produces the best imputation results.
Keywords：
气候变化对人类生存、经济社会发展等带来极其深远的影响,成为当前国内外普遍关注的问题和研究的热点[1~6]。气象记录缺失是气候变化研究中普遍存在的一个问题,错误的测量、仪器故障、人为以及自然因素等都将导致气象记录的不连续。一方面,现实中许多类型的气象分析需要完整的气象记录序列,记录缺失成为这些分析的主要制约因素;另一方面,缺失记录会增加后期分析任务的复杂性、造成结果偏倚、降低统计工作的效率[7~9]。因此,如何精确地对缺失的气象记录进行重建具有十分重要的意义。
重建缺失气象记录的研究可以追溯到19世纪50年代,迄今为止,一系列重建方法被提了出来,这些重建方法大致可以分为3类。一类是基于时间序列分析的方法,它利用气象数据在时间上的相关性重建缺失记录。其中,均值法[10]和线性插值法[11]是最常用的2种方法。均值法虽保持序列的均值不变,但减小序列方差,不利于对剧烈变化的气象变量进行重建。为充分利用时间序列的特性,近年来,一些学者相继提出神经网络[12]、期望最大化（expectation maximization, EM)[13]以及多重填补(multiple imputation,MI)[14]等方法。但该类方法忽略气象数据的空间相关性。第二类是空间插值方法,它主要顾及气象数据的空间分布特性,如最邻近站点法、简单算术平均法[15]、反距离加权法[16]、样条函数法以及克里金法等。其中克里金法应用最为广泛[17~21]。然而气象数据同时有时间和空间上的相关性,忽略任何一方都不利于缺失记录重建精度的提高[8]。第三类方法期望综合考虑气象数据的时空特性来提高缺失记录的修复精度,如标准比率(normal ratio, NR)[15]、邻域特征[22]以及时空克里金[23]等方法。但该类方法往往通过经典统计来确定周围站点的权重,没充分考虑气象数据的空间分布特性,如NR和邻域特征法等;此外,部分方法计算复杂性较大,难以实现,如时空克里金中时空变异模型的确定。
文本旨在提出一种新的融合气象数据时空特性的气温缺失记录重建方法,首先通过分析气温时间序列获得缺失记录时刻的气温趋势;接着衡量该时刻气温的空间分布特性,并通过本文提出的基于已知变化均值的非平稳克里金模型来有机整合这2种信息,以期提高缺失记录的重建精度。
气温数据选用北京、天津、山西、山东、河南、河北、陕西、湖北、安徽、江苏等10个省市140多个气象观测站点2001~2010年的月平均气温资料,数据来源于中国气象局气象信息中心提供的气候资料月值数据集,气象站点坐标被转换到Lambert投影WGS84坐标系下（图1）。研究区四季分明,温度变化范围大,东部和南部地势相对平坦,西部和北部相对起伏较大。
图1 研究区气象站点空间分布
Fig. 1 The spatial distribution of meteorological observation stations in study area
克里金又称空间局部插值,是建立在变异函数理论及结构分析的基础上,在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏最优估计的一种方法[24~26]。克里金插值均可表示如下：
式中,Z*(u)为待估计位置u处的估计值;Z(ua)为参与估计的区域化变量;λa(u)为相应的权重;n(u)表示参与估计的变量个数;m(u)和m(ua)分别为随机变量Z(u)和Z(ua)的期望或趋势。
根据m(u)假设的不同,克里金可分为简单克里金、普通克里金和趋势克里金3类。简单克里金假定区域变量满足二阶平稳,均值在全局已知,且是常量;普通克里金假定均值在局部邻域内是常量,但未知;不同于前两种方法,趋势克里金属于非平稳克里金,它假定均值在整个空间上是变化的,且未知。简单克里金假定均值在整个研究区是常数m,表示如下：
为保证最优无偏估计,权重
式中,u为待估计气象站点的位置,ua和uβ是参与估计周围站点的位置;n(u)为参数与估计的变量个数;C(h)为协方差函数,h为距离,它由研究区气温的经验半变异函数计算获得,ua-uβ表示两个气象站点间的距离,C(ua -uβ)为ua和uβ这2个气象站点间的协方差函数,C(ua - u)为ua和u这2个气象站点间的协方差函数。C(h)与变异函数r(h)满足C(h) = C(0) - r(h)的关系,C(0)是区域化变量的方差。然而在现实中,简单克里金的假设很难被满足。
气温具有典型的时空分布特性,假设t时间某站点的气温为Zt(u),则{Zt (u), t = 1, 2, …, s}是该站点气温的时间序列。空间上站点的气温趋势不同,即m(u)在整个研究区是变化的, 这与简单克里金的假设相矛盾。每个站点的气温是一个时间序列,它能提供该位置气温的先验信息。通过对气温时间序列记录进行分析,可推断该站点在t时刻的气温趋势。
式中,Tt(u)为t时刻u站点的气温趋势,F(·)为时间序列分析函数。如果用Tt(u)替换简单克里金中的均值m,于是得到均值在研究区是变化的,且已知的非平稳克里金模型。如果对t时刻的缺失气温记录进行重建,模型表示如下：
式中,
对非平稳克里金模型来说,区域化变量的变异函数不能用常规方法计算,用残差部分R(u)=Z(u)-T(u)的变异衡量变量的空间分布特性。Z(u)是随机变量;T(u)是它的趋势;为保证最优无偏估计,权重
式中,CR(h)是残差的协方差函数,h表示距离;ua - uβ表示ua和uβ两站点间的距离,ua-u表示ua和u两站点间的距离。
利用该模型对t时刻缺失的气温记录进行重建包括两个部分。首先,通过公式（4）对气温时间序列进行分析,获得t时刻每个站点的气温趋势;接着,计算t时刻观测值与气温趋势的残差变异来衡量气温的空间分布特性,并通过公式（6）和（7）把这两种信息有机地融合在统一的模型中,实现对缺失记录的重建。
为检验提出方法的重建精度,采用交叉验证法对研究区2005年月平均气温进行重建。交叉验证假设该时刻某气象站点气温记录缺失,然后用其他所有记录来估计该站点月平均气温,计算所有该时刻站点实际观测值与估计值间的误差来评判重建的优劣。采用的检验指标有平均绝对误差（mean absolute error, MAE）和均方根误差（Root mean square error, RMSE）。
本文采用线性插值估计2005年的月平均气温趋势;然后由实际观测值减去月平均气温趋势得到各月残差。表1看出： 2和12月有最大残差,平均值分别达3.52℃和1.79℃;最小是5和10月的-0.37℃和-0.42℃。残差变化幅度较大,均大于2℃。采用Moran′s I指数衡量残差在空间上的分布特性,各月残差的Moran′s I指数均大于0.3,均通过0.01水平上的置信度检验,表明残差在空间上存在明显聚类,即线性插值方法不能获得缺失记录的无偏最优估计。1~12月残差的Moran′s I指数呈现先减少后增加趋势。由1月的0.68下降到6月的0.34,再增长到12月的0.69。所有月份残差偏度绝对值小于1,表明无需对数据进行数学变换,可直接进行变异分析[27,28]。
变异模型的计算采用GS+ 9.0软件,参考研究区气象观测站点间的平均距离,lag设置为53 km,各月残差的变异模型见表2和图2。1和2月为指数模型（Exponential）,3 和10月为球面模型（Spherical）,其余为高斯模型（Gaussian）。所有模型的决定系数R2均大于0.9,表明它们有较高的拟合度,能很好地解释气温的空间分布特性。
变异模型反映变量在空间上呈现出的结构性和随机性等特征,变异模型的变程越大,表明变量的空间连续性越好,反之随机性增强。图2看出,残差的空间连续性呈现明显的季节性,冬夏季残差的连续性呈增加趋势,变程分别由12月的868 km和6月的694 km,增加到2月的1 450 km和9月的1 105 km。春秋季则随机变化。
变量的空间相关性由结构方差和基台值的比值来衡量,比值大于0.75表明变量有较强的空间相关性,比值在0.25~0.75则有中等程度的相关性,其它则有弱空间相关性。表2可知,研究区除4、5和11月为中等程度的空间相关性外,其余月份比值均大于0.75,有较强的空间相关性。
采用本文提出方法对2005年的月平均气温进行重建,然后用实际观测值来验证重建结果,图3看出,绝对误差的分布具有明显的空间和季节特性。
表1 2005年各月残差的描述性统计
Table 1 Descriptive statistics of residual errors of each month in 2005
| 月份（月） | 最大值 （0.1℃） | 最小值 （0.1℃） | 平均值 （0.1℃） | 标准差 （0.1℃） | 变异系数 （%） | 偏度 | Moran's I |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2.6 | -27.4 | -10.2 | 4.1 | - | -0.70 | 0.68** |
| 2 | -12.6 | -58.2 | -35.2 | 6.9 | - | -0.08 | 0.65** |
| 3 | 1.0 | -20.6 | -11.1 | 4.1 | - | 0.55 | 0.57** |
| 4 | 22.2 | -0.2 | 11.3 | 4.7 | 41.6 | -0.52 | 0.52** |
| 5 | 6.4 | -14.6 | -3.7 | 4.4 | - | -0.36 | 0.37** |
| 6 | 21.8 | -3.4 | 12.9 | 5.4 | 41.8 | 0.88 | 0.34** |
| 7 | 20.0 | -10.4 | 6.4 | 5.8 | 90.6 | 0.06 | 0.42** |
| 8 | 6.2 | -28.4 | -5.9 | 7.2 | - | -0.38 | 0.50** |
| 9 | 23.0 | -5.2 | 5.2 | 6.2 | 119.2 | 0.40 | 0.54** |
| 10 | 7.0 | -14.4 | -4.2 | 3.9 | - | 0.86 | 0.62** |
| 11 | 22.6 | -3.2 | 10.9 | 5.0 | 45.9 | -0.51 | 0.69** |
| 12 | 2.6 | -38.2 | -17.9 | 8.1 | - | 0.00 | 0.69** |
注:“**”表示0.01水平上的显著性;“-”表示无法计算变异系数
表2 2005年各月残差的变异模型参数
Table 2 Semivariogram model parameters of residual errors of each month in 2005
| 月份（月） | 变异模型 | 块金（C0） | 基台（C0+C） | 变程(A) (km) | 结构方差/基台[C/(C0+C)] | R2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 指数模型 | 1.96 | 21.12 | 1013 | 0.91 | 0.94 |
| 2 | 指数模型 | 5.22 | 65.02 | 1450 | 0.92 | 0.96 |
| 3 | 球面模型 | 1.73 | 19.25 | 858 | 0.91 | 0.99 |
| 4 | 高斯模型 | 5.79 | 19.88 | 521 | 0.71 | 0.95 |
| 5 | 高斯模型 | 5.36 | 19.76 | 531 | 0.73 | 0.99 |
| 6 | 高斯模型 | 4.96 | 34.90 | 694 | 0.86 | 0.99 |
| 7 | 高斯模型 | 5.60 | 52.20 | 1039 | 0.89 | 0.99 |
| 8 | 高斯模型 | 6.90 | 84.80 | 1105 | 0.92 | 0.99 |
| 9 | 高斯模型 | 5.80 | 50.47 | 668 | 0.89 | 0.99 |
| 10 | 球面模型 | 1.10 | 18.89 | 913 | 0.94 | 0.98 |
| 11 | 高斯模型 | 11.63 | 29.80 | 678 | 0.61 | 0.91 |
| 12 | 高斯模型 | 10.71 | 82.42 | 868 | 0.87 | 0.98 |
注：C0表示块金;C0+C表示基台;A表示变程。全文相同。
图2 2005年各月残差的半变异模型
Fig. 2 Semivariogram models of residual errors of each month in 2005
1月份较大绝对误差（大于0.3℃）的站点主要分布研究区西北、西部和西南边缘地区,其余地区站点的绝对误差相对较小。2月有1/3站点的绝对误差大于0.3℃,主要分布在除东南部以外的区域。相比1和2月,3月绝对误差相对较小,最大绝对误差值仅为0.78℃,较大绝对误差主要分布在研究区北部和西部边缘,4月较大绝对误差站点主要出现在西部和南部边缘地区。5月绝对误差有明显分异,较大和较小绝对误差值分别分布在研究区东和西部。6月没有明显的分布特征。绝对误差在7和8月有相似的分布模式,较大绝对误差值主要分布在研究区北部。10月较大绝对误差值主要出现在东北和西南部地区。此外,11和12月也有相似分布,较大绝对误差主要出现在研究区北部地区。
绝对误差在时间上也存在明显差异,其中3和10月的MAE最小,仅为0.16℃;较大MAE主要出现在1、2、11和12这4个月,均大于0.2℃,其中2月的MAE高达0.29℃;其余月份MAE则大体相当。
图3 2005年各月绝对误差分布
Fig. 3 Spatial distribution of absolute errors of each month in 2005
为了检验提出方法的性能,线性插值法、考虑海拔影响的普通克里金法(ordinary kriging based on DEM,OKD)[29]以及NR法被用来进行对比。表3看出,对于2005年的平均重建精度,MAE的排序为：线性插值>NR>OKD>提出方法,其值分别为1.16、0.87、0.69 和0.21℃;RMSE的排序为NR>线性插值>OKD>提出方法,其值分别为1.54℃、1.29℃、0.96℃和0.27℃。本文提出方法具有最小的MAE（0.21℃）和RMSE（0.27℃）,重建精度最高。
4种方法的重建精度有不同的时间分布模式。线性插值和NR法的MAE和RMSE有明显季节性,均呈现出冬、夏季高于夏、秋季,冬季最高的趋势。线性插值在2月份有最差的重建精度,其MAE和RMSE分别为3.52℃和3.59℃;虽然NR在4~10月具有较高的重建精度,其MAE为0.18℃~2.1℃,仅次于本文提出方法;但该方法在冬季的重建精度差强人意,特别是12月份,其MAE和RMSE高达4.19℃和8.19℃。OKD具有较好的稳定性,即使它在4月份具有最差的重建精度,其MAE和RMSE也仅为0.81℃和1.12℃,致使它的平均重建精度略高于这两种方法。相比其他3种方法,本文提出方法的最高和最低重建精度之差仅为0.13℃,且每月的MAE和RMSE均是最小的,因此该方法具有最高的重建精度以及较好的稳健性。该方法在3~10月具有较高的重建精度,MAE均小于0.2℃,其中3和10月具有最高的重建精度（MAE为0.16℃）;而1、2、11和12月的重建精度较差,均大于0.2℃。
陕西定边、河北饶阳、河南信阳以及山东费县等4个站点被选择出来,以说明4种方法的重建特性（图4）。陕西定边处于研究区的西部边缘,海拔较高;河北饶阳和山东费县分别位于研究区北部和东部;与其他3个站点不同,河南信阳站点月平均气温均在0℃以上。
图4看出,线性插值和OKD法的MAE分别保持在1.2和0.9℃左右,有较差的重建精度。NR法冬季的重建精度较差,使其在陕西定边、河北饶阳、山东费县3个站点的重建精度弱于本文提出的方法。但信阳站点有8个月的重建精度优于本文提出方法,有最小的年平均MAE（0.12℃）。本文提出方法在陕西定边站点具有较差的重建精度,其年平均MAE为0.22°C;其他3个站点,其重建精度分别为河北饶阳的0.1℃,河南信阳的0.18℃以及山东费县的0.13℃,均是这些站点的最优估计结果,因此该方法有较好的稳健性。
线性插值法基于气温在时间上的相关性对缺失记录进行重建,然而气温在空间上围绕某一趋势上下波动,且这种波动在空间上呈现一定的结构性和连续性。该方法无法顾及这种特性,致使在气温变化大的月份,如冬季有较差的重建精度。此外,该方法属于经典统计,无法保证残差在空间上呈现随机分布,导致它的总体重建精度最差。
OKD法不仅考虑气温在空间上的分布特性,还顾及海拔对气温的影响,实际上已是非平稳kriging方法,因此其重建精度略高于仅考虑时间相关性的线性插值法。各月的重建精度大体相当,没有明显的季节变化,具有较强的稳健性。然而OKD法没有考虑气温的时间分布特性,导致其重建精度仍然较弱。
表3 4种方法对月平均气温的重建精度（0.1℃）
Table 3 The accuracy for the imputed monthly averageair air temperature records by four methods (0.1℃)
| 月份（月） | 线性插值 | OKD | NR | 提出方法 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| MAE | RMSE | MAE | RMSE | MAE | RMSE | MAE | RMSE | |
| 1 | 10.2 | 10.9 | 7.5 | 10.3 | 15.4 | 17.9 | 2.3a | 3.2 b |
| 2 | 35.2 | 35.9 | 6.3 | 9.9 | 20 | 41 | 2.9 a | 4.1 b |
| 3 | 11.1 | 11.8 | 7.3 | 10.9 | 8.2 | 15.8 | 1.6 a | 2.1b |
| 4 | 11.2 | 12.2 | 8.1 | 11.2 | 2.0 | 2.6 | 1.9 a | 2.4 b |
| 5 | 4.5 | 5.7 | 7.0 | 10.0 | 2.0 | 2.6 | 1.8 a | 2.4 b |
| 6 | 13.1 | 13.9 | 7.4 | 10.5 | 2.2 | 2.9 | 1.8 a | 2.3 b |
| 7 | 7.1 | 8.7 | 6.4 | 9.3 | 1.9 a | 2.5 b | 1.9 a | 2.5 b |
| 8 | 7.1 | 9.3 | 5.6 | 8.1 | 2.1 | 2.7 | 1.9 a | 2.5 b |
| 9 | 6.4 | 8.1 | 6.0 | 8.5 | 2.1 | 2.8 | 1.8 a | 2.3 b |
| 10 | 5.1 | 5.7 | 6.7 | 8.4 | 1.8 | 2.4 | 1.6 a | 2.1 b |
| 11 | 10.9 | 11.9 | 7.5 | 9.4 | 4.4 | 7.5 | 2.5 a | 3.4 b |
| 12 | 17.9 | 19.6 | 7.2 | 9.2 | 41.7 | 81.9 | 2.6 a | 3.6b |
| 平均 | 11.6 | 12.8 | 6.9 | 9.6 | 8.7 | 15.4 | 2.1 a | 2.7 b |
注：a为每月最优的MAE;b为每月最优的RMSE。
图4 4种方法对4站点月平均气温的重建结果
Fig. 4 The imputed monthly average air temperature records in four stations by four methods
NR通过均值比来顾及气温的时空分布特性。然而当参与估计时间序列的均值为0℃或非常小时,致使参与值具有非常大的权重,严重影响缺失记录的重建精度,这导致该方法在11~12以及1~3月具有较差的重建精度。4~10月研究区的气温基本上都在0℃以上,因此具有仅次于本文提出方法的重建精度。河南信阳站点的重建结果也反映了这个特性,该站点终年气温大于0℃,因此该方法在此处具有最高的重建精度。由于均值比的隐患,致使NR法的稳健性较差,严重制约了它的应用范围。
本文提出方法假定气温的均值或趋势在整个研究区是变化的,更符合实际情况。它通过气温时间序列估计气温记录的趋势,同时利用残差的变异来衡量气温在空间上的相关性,并把这两种信息有机地整合在统一的模型中,同时兼顾气温在时间和空间上的分布特性,因此该方法能够获得最高的重建精度。
针对目前气象记录缺失的普遍现象以及现实中对完整序列记录的强烈需求,考虑到气温数据时空分布特性,本文提出基于已知变化均值的非平稳克里金方法,来重建缺失的气温记录,并与线性插值法,OKD以及NR法进行对比。实验结果表明：① OKD法各月气温缺失记录的重建精度大体相当,其余3种方法的重建精度在月份上存在明显的差异。线性插值法在5月以及7~10月具有较高的重建精度,其余月份重建精度较差;NR法在4~11月具有较高的重建精度,其余月份具有较差的重建精度;本文提出方法在3~10月具有较高的重建精度,其MAE均小于0.2℃。② NR法12月的MAE高达4.17℃,而10月份仅为0.18℃,具有最差的稳健型;OKD法具有较强的稳健性,其MAE的最大和最小值分别为0.56和0.81℃;即使线性插值产生的误差变化迥异,本文提出方法仍获得较好的重建结果,其重建精度最高和最低月份的MAE之差仅为0.1℃,具有最好的稳健性。③ 气温具有典型的时空分布特性,线性插值法仅考虑它的时间相关性,而OKD法只考虑它在空间上的分布特性,均不利于气温缺失记录重建精度的提高。NR法部分地考虑气温的时空特性,致使其在3~11月具有较高的重建精度。本文提出方法有机地融合气温的时空信息,其年平均MAE仅为0.21℃,远小于其他3种重建方法,具有最高的重建精度。
The authors have declared that no competing interests exist.
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